|
С. Г. Гиндикин, кандидат физико-математических наук
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Часть вторая.
|
Математические и механические задачи
в работах Гюйгенса о маятниковых часах
|
Первые часы Гюйгенса в максимальной степени использовали
конструкцию часов, распространенную в то время (он имел в виду возможность
быстро переделывать уже имевшиеся часы в маятниковые). Начиная с
этого момента, совершенствование часов становится одной из главных
задач Гюйгенса. Последняя работа о часах была опубликована в 1693
г. за два года до его смерти. Если в первой работе Гюйгенс проявил
себя прежде всего как инженер, сумевший реализовать в часовом механизме
уже известное свойство изохронности маятника, то постепенно на первый
план выходит Гюйгенс - физик и математик.
Впрочем, в числе его инженерных достижений были выдающиеся.
Макс Лауэ выдвигал на первый план в часах Гюйгенса идею обратной
связи: впервые энергия сообщалась маятнику без нарушения периода
колебаний, "причем сам источник колебаний определяет моменты времени,
когда требуется доставка энергии" [6]. У Гюйгенса эту роль выполняло
простое и остроумное устройство в виде якоря с косо срезанными зубцами,
ритмически подталкивающего маятник. Еще в начале своей работы Гюйгенс
обнаружил неточность утверждения Галилея об изохронности колебаний
маятника. Этим свойством маятник обладает лишь при малых углах отклонения
от вертикали, но скажем, для угла в 60o колебания заметно неизохронны
(на это мог бы обратить внимание Галилей в опытах, описанных Вивиани).
В 1673 г. Гюйгенс отмечал, что период для 90o относится к периоду
для малых дуг, как 34 к 29.
Для того чтобы скомпенсировать отклонения от изохронности,
Гюйгенс решил уменьшать длину маятника при увеличении угла отклонения.
В первых часах Гюйгенса с этой целью использовались ограничители
в форме щек, на которые частично наматывалась нить подвеса. Эмпирический
способ подбора формы щек не устраивал Гюйгенса. В 1658 г. он вообще
удалил их из конструкции, вводя ограничители амплитуды. Но это не
означало отказа от поисков изохронного маятника. В часах 1659 г.
корректирующие пластинки появились вновь, но на сей раз Гюйгенс
уже умел определять форму щек теоретически.
Вот как была решена эта задача. Вместо движения маятника,
длина которого уменьшается по мере удаления от вертикали, рассматривалось
движение тяжелой точки по желобу, имеющую форму кривой, по которой
движется конец маятника (для математического маятника это окружность).
Итак, надо было найти такую кривую (ее назвали изохронной, или таутохронной),
чтобы точка скатывалась вниз за одно и то же время независимо от
высоты, на которой она начинала движение. Галилей ошибочно считал,
что этим свойством обладает окружность. Гюйгенс же обнаружил, что
таутохронной является циклоида, причем по счастливой случайности
поиски изохронного маятника совпали с серьезными исследованиями
циклоиды по другому поводу.
Циклоиду описывает фиксированная точка окружности,
которая катится без скольжения по прямой. Циклоиду открыл и предложил
это название ("происходящая от круга") Галилей; во Франции ее называли
трохоидой, или рулеттой (там ее, по-видимому независимо, открыл
М. Мерсенн). Позднее Блез Паскаль удивлялся, что "эту кривую не
рассмотрели древние", ибо "она так часто вычерчивается перед глазами
каждого... Это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздем
колеса". Однако когда циклоида была открыта, она быстро стала самой
популярной кривой у математиков. В 1673 г. Гюйгенс констатировал,
что циклоида исследована точнее и основательнее других кривых. Математики
создавали в это время общие методы изучения кривых и очень нуждались
в экспериментальном материале. На циклоиде, не похожей на привычные
алгебраические кривые, обязательно опробовался каждый новый прием.
Например, циклоида должна была решить спор между П. Ферма и Р. Декартом
о преимуществах предлагавшихся ими методов проведения касательных.
Кинетическое определение циклоиды позволяло с большим изяществом
решать для нее различные задачи. Открытие Гюйгенса основывалось
на свойствах касательной к циклоиде. Следуя Э. Торичелли и Ж. Роберваллю,
эту касательную можно построить, пользуясь тем, что циклоида является
траекторией движения, полученного сложением прямолинейного движения
вдоль направляющей прямой и вращения катящегося (производящего)
круга. По касательной направлен вектор скорости этого движения,
являющийся суммой скоростей составляющих движений.
Итак, если А - положение наблюдаемой точки в какой-то
момент времени, то нужно сложить горизонтальный вектор и вектор,
касательный к производящему кругу в точке А. Их длины должны быть
равны (в этом и состоит условие того, что качение происходит без
скольжения). Значит, следует построить ромб с вершиной А, одна сторона
которого горизонтальна, а другая касается окружности, и провести
диагональ ромба (величины сторон не сказываются на направлении диагонали).
Построим параллелограмм ABCD, у которого стороны АВ,
АС имеют указанные направления, а вершина является верхней точкой
круга. Тогда прямоугольные треугольники АВО и BDO (О - центр круга)
равны, т. е. АВ и BD равны, и, следовательно, построен ромб. В результате
в каждой точке циклоиды прямая, соединяющая эту точку с верхней
точкой производящего круга в соответствующем положении, касается
циклоиды. Заметим, что прямая, соединяющая точку на циклоиде с нижней
точкой производящего круга, является нормалью к циклоиде (перпендикулярна
касательной).
Главным пропагандистом задач о циклоиде был Мерсенн.
Серию трудных задач он предложил Паскалю. Паскаль почти не думал
о них, а вспомнил при необычных обстоятельствах. В 1654 г. он едва
не погиб, пережил тяжелое нервное потрясение и решительно прекратил
занятия естественными науками. С 1655 г. он жил в монастыре Пор-Рояль,
по существу, ведя монашеский образ жизни. Здоровье Паскаля было
подорвано, а весной 1658 г. невыносимая зубная боль совершенно лишила
его сна. В одну из бессонных ночей он вспомнил о задачах Мерсенна
и невольно начал думать о них. Размышления помогали переносить боль,
а к утру он понял, что все задачи решены и он... исцелился от зубной
боли. Поначалу Паскаль считал, что он совершил грех, и не собирался
записывать полученные результаты. Но под влиянием его друга герцога
де Роанне, Паскаль изменил решение и, как это было принято, в июне
1658 г. объявил конкурс на решение 6-ти задач о циклоиде (рулетте).
Приглашение участвовать в конкурсе было направлено ряду крупных
математиков, в том числе Гюйгенсу. Гюйгенс, отложив все дела, принялся
за решение задач и за короткий срок, бывший в распоряжении участников
конкурса, решил 4 из них. Это была лучшая работа, если не считать
работу самого Паскаля, представленную под псевдонимом Амос Деттонвиль.
Работа Паскаля, по существу, содержала все основные моменты анализа
бесконечно малых. Гюйгенс писал, что "к ней ничего нельзя добавить".
|
